1. Cho a,b,c>0, a+b+c=1. CMR: a/(1+bc) + b/(1+ac) + c/(1+ab) >= 9/10
2. Cho x,y >0 và x+y>=6. CMR: 3x + 2y + 6/x + 8/y >=19
*Trình bày cho mình cách làm nhé.
*Nếu có thể thì cho mình phương pháp làm 2 dạng toán trên.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 8 2021
Lời giải:
a.
Gọi ptđt $BC$ có dạng: $y=ax+b$.
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} -1=a(-1)+b\\ 9=4a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1\end{matrix}\right.\)
Vậy ptđt $BC$ có dạng $y=2x+1$
b. Gọi giao của $2x-y-1=0$ và $x-2y+8=0$ là $I(x_0,y_0)$
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} 3x_0-y_0-1=0\\ x_0-2y_0+8=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=2\\ y_0=5\end{matrix}\right.\)
Thay kết quả này vô ptđt $BC$ ta thấy:
$2x_0+1=2.2+1=5=y_0$ nên $I(x_0,y_0)\in BC$
Vậy 3 đt đồng quy (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 8 2021
Michael Channel: này là giải hệ 2 ẩn rất quen thuộc ở lớp 9 mà em
\(\left\{{}\begin{matrix}-a+b=-1\\4a+b=9\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(4a+b\right)-\left(-a+b\right)=9-\left(-1\right)\)
\(\Leftrightarrow5a=10\Leftrightarrow a=2\)
14 tháng 2 2018
b) \(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(=1+\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=1+3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)
Rồi dùng Cauchy
Dấu = khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
24 tháng 4 2020
Bài 1 :
Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
( xy+yz + zx )(9 + x2y2 +z2y2 + x2z2 ) \(\ge\)36xyz
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xy+ yz + zx \(\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\) ( 1)
Và 9 + x2y2 + z2y2 + x2z2 \(\ge12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)
hay 9+ x2y2 + z2y2+ x2z2 \(\ge12\sqrt[3]{xyz}\) (2)
Do các vế đều dương ,từ (1) và (2) suy ra :
( xy + yz +zx )( 9+ x2y2 + z2y2 + x2z2 ) \(\ge36xyz\left(đpcm\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =z = 1
Bài 2:
\(\hept{\begin{cases}a;b;c>0\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\)
Có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+a^2}\ge\sqrt{2a}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}a\\\sqrt{1+b^2}\ge\sqrt{2b}\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}b\\\sqrt{1+c^2}\ge\sqrt{2c}\Rightarrow\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}c\end{cases}}\)
=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a =b =c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
2.
\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
\(P=\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}+\frac{y}{2}+\frac{8}{y}+\frac{3x}{2}+\frac{3y}{2}\)
\(P=\left(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)+\frac{3}{2}\left(x+y\right)\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{18x}{2x}}+2\sqrt{\frac{8y}{2y}}+\frac{3}{2}.6=19\)
\(P_{min}=19\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
1.
Do \(0\le a;b;c\le1\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-abc-a-b-c+ab+bc+ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\)
Mặt khác \(0\le a;b;c\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2\le b\\c^3\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-ab-bc-ca\le1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
